بحث عن المتطابقات المثلثية

بحث عن المتطابقات المثلثية، إن دراستها جزء من دراسة علم الهندسة الذي يعتبر أحد فروع علم الرياضيات، حيث يختص علم الهندسة بدراسة الأشكال الهندسية المختلفة سواء كانت في بعدين كالأشكال المسطحة، أو كانت في ثلاثة أبعاد مثل الأشكال المجسمة التي يطلق عليها المجسمات، ويمكن إيجاد مساحة كل شكل منها وفق قوانين رياضية دقيقة وخاصة بكل شكل منها، علاوة على ذلك لابد من الإشارة بأن المتطابقات المثلثية خاصة بالمثلثات على اختلاف أشكالها، في هذا السياق نقدم لكم بحث عن المتطابقات المثلثية.

تعريف المثلث في علم الهندسة

تتعدد الأشكال الهندسية وتتفاوت من حيث عدد أضلاعها وزواياها، بل ومن حيث نوع الزوايا الموجودة فيها، وغير ذلك من الخصائص الهندسية كالوتر وتساوي الأضلاع، وتساوي الزوايا ونحو ذلك، هنا نوضح لكم تعريف المثلث في علم الهندسة :

• يعتبر المثلّث أحد الأشكال الهندسية الأساسية، كما يعتبر شكلاً ثنائي الأبعاد.
• يتكون المثلث من ثلاثة أضلاع تحصر بينها ثلاثة زوايا، وتلتقي الأضلاع في ثلاثة رؤوس.
• ومن المسلمات في علم الهندسة، أن مجموع طول أيّ ضلعين من أضلاع المثلّث يكون دائمًا أكبر من طول الضلع الثالث.
• أيضا يكون مجموع زوايا المثلث يساوي مائة وثمانون درجة.

شاهد أيضا : بحث عن المصفوفات في الرياضيات

ما هي أنواع المثلث

بحث عن المتطابقات المثلثية، إن التفاوت والاختلاف في أطوال أضلاع المثلث، وقياسات زواياه كانت عاملاً من عوامل تعدد أنواع المثلث، لذلك تنقسم المثلثات من حيث أطوال الأضلاع إلى ثلاثة أنواع، كذلك الأمر بالنسبة للتفاوت في قياسات الزوايا فإنها ثلاثة أنواع، هنا نقدم لكم ما هي أنواع المثلث من حيث أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا :

شاهد أيضا : بحث عن اليوم العالمي للرياضيات اهمية الرياضيات في حياتنا

تعريف علم حساب المثلثات

يعتبر علم حساب المثلثات أحد فروع علم الرياضيَّات، حيث يهتم بتناول كل المعارف والمعلومات التي لها صلة بالمثلثات، ومن الأمثلة على ذلك :  إيجاد قياس الزوايا، وكذلك حساب المسافات بين الأضلاع، هنا نوضح لكم تعريف علم حساب المثلثات بشكل أشمل :

• يحظى علم حساب المثلثات بأهمية كبيرة، نظراً لاعتماد العديد من أفرع العلوم عليه، بما في ذلك الألعاب الإلكترونية، والهندسة وغيرها من العلوم.
• يتصل علم حساب المثلثات بدوال الزوايا وهي : جيب الزاوية، وجيب تمام الزاوية، وظل الزاوية.
• علاوة على ذلك، فقد برز هذا العلم واهتمت به العديد من الحضارات بما فيها : الحضارة البابلية، الحضارة الصينية، الحضارة المصرية القديمة.
• أما علم حساب المثلثات بشكله الحديث فقد برز في القرن الثاني قبل الميلاد، وذلك على يد أحد علماء الإغريق، إذ قام بتنسيق جدول القيم المثلثية، بينما قام بعض علماء الهند بوضع قوانين رئيسية فيه.
• وتوالت الأبحاث والدراسات في هذا العلم، حيث وضع بعض من علماء العرب العديد من النظريات والقوانين ذات الصلة، خلال العصور الوسطى.
• إبان القرن السادس عشر، تمكن علماء أوروبيون من صياغة مجموعة من القوانين والنظريات في علم المثلثاث.
• وهذا بدوره أدى إلى ظهور نظريات جديدة أبرزها : اللوغاريتمات التي يعود الفضل في اختراعها للعالم جون نابيير، وذلك خلال عام 1614.

شاهد أيضا : ما هو النظير الضربي في الرياضيات

حالات تطابق المثلثات

بحث عن المتطابقات المثلثية، إن تطابق المثلثات يكون عندما تتساوى أطوال الأضلاع المتناظرة في مثلثين، وتتساوى قياسات الزوايا المتناظرة في المثلثين، عندها يمكن القول بأن المثلثين متطابقين، وتكون حالات تطابق المثلثات على النحو التالي :

• حالة (ض، ض، ض) حيث تساوي الأضلاع الثلاثة المتناظرة في أطوالها مع بعضها البعض، من المثلث الأول والمثلث الثاني.
• كذلك حالة ( ض، ز، ض) بحيث يتساوى طولا ضلعين والزاوية المحصورة بينهما مع المقابلة لها في المثلث الآخر.
• حالة ( ز، ض، ز) يتساوي قياس زاويتين والضلع المحصور بينهما في كل من المثلثين.
• الحالة الرابعة هي : ضلع ووتر وقائمة، حيث يتساوى في المثلثين القائمين قياس ضلع وزاوية قائمة، والوتر المقابل للزاوية القائمة.

شاهد أيضا : بحث عن المثلثات المتطابقة

ما هي المتطابقات المثلثية

إن المتطابقات المثلثية خاصة بالمثلثات في علم الهندسة، ولها دوراً هاماً في إيجاد حلول للعديد من المعادلات الرياضية، لا سيما معكوس الدالة، في هذا السياق نوضح لكم ما هي المتطابقات المثلثية :

• المتطابقات المثلثية أو المعادلات المثلثية هي متطابقات تتكون من دوال مثلثية.
• وتكمن أهمية هذه المتطابقات في أن لها دورًا مهمًا في حل المعادلات الرياضية، لا سيما معكوس الدالة.
• كما تقوم المتطابقات المثلثية بدراسة المثلث الذي يتكون من 3 أضلاع ومن 3 زوايا، على أن يكون مجموع قياسات زواياه 180 درجة.
• يمكن الاستعانة بالمتطابقات المثلثية في كل من : علم التفاضل والتكامل، كذلك المتسلسلات النهائية، واللوغاريتمات أيضا.
• بالإضافة إلى دخولها في كافة فروع علم الرياضيات.

شاهد أيضا : مساحة شبه المنحرف وطرق حسابها

المتطابقات المثلثية الأساسية

يوجد العديد من المتطابقات الأساسية التي يقوم عليها علم حساب المثلثات، ويتم الاستعانة بها في إيجاد حل للمعادلات المثلثية أو إثبات صحة المتطابقات المثلثية المختلفة الخاصة بالمثلثات قائمة الزاوية، في هذا السياق نقدم لكم المتطابقات المثلثية الأساسية :

• جيب الزاوية :ويرمز له بالرمز (جا)، أما قانون جيب الزاوية في المثلث القائم الزاوية يكون على النحو التالي: جاس= الضلع المقابل للزاوية س÷ وتر المثلث.
• كذلك جيب تمام الزاوية : يرمز لها بالرمز (جتا)، ويكون قانون جيب التمام في المثلث القائم الزاوية وفق ما يلي: جتا س= الضلع المجاور للزاوية س÷ وتر المثلث.
• أيضا ظل الزاوية : يكون رمزه (ظا)، بينما قانون ظل الزاوية في المثلث القائم الزاوية يكون : ظا س= الضلع المقابل للزاوية س÷ الضلع المجاور للزاوية س= جا(س)/ جتا (س).
• قاطع تمام الزاوية: رمزه في علم حساب المثلثات (قتا)، ويعتبر مقلوب جيب الزاوية، أما عن قانونه في المثلث القائم الزاوية يكون : قتا س= وتر المثلث ÷ الضلع المقابل للزاوية س= 1÷ جا س.
• كذلك قاطع الزاوية: يكون رمزه (قا)،  ويعتبر مقلوب جيب تمام الزاوية، أما عن قانونه في المثلث القائم الزاوية  يكون: قا س= وتر المثلث ÷ الضلع المجاور للزاوية س= 1÷ جتا س.
• أيضا ظل تمام الزاوية: ويكون رمزه (ظتا)، ويمثل مقلوب ظل الزاوية، بينما يكون قانونه في المثلث القائم الزاوية على النحو التالي : ظتا س= الضلع المجاور للزاوية س÷ الضلع المقابل للزاوية س=1÷ ظا س= جتا (س)/ جا (س).

شاهد أيضا : بحث عن دوال التغير

أنواع المتطابقات المثلثية

تتعدد أنواع المتطابقات المثلثية الأساسية، حيث أن متطابقات ناتج القسمة، وكذلك متطابقات الجمع والطرح، ومتطابقات فيثاغورس، بالإضافة إلى متطابقات الزوايا المتكاملة والمتتامة، أمثلة عليها، فيما يلي نوضح أنواع المتطابقات المثلثية مع ذكر أمثلة رياضية عليها، وذلك على النحو التالي :

• متطابقات ناتج القسمة وهي:
  ظا س = جا س ÷ جتا س.
  قتا س= جتا س ÷ جا س.
• أيضا متطابقات الجمع والطرح
  جا (س±ص) = جا (س) جتا (ص) ± جتا (س) جا (ص).
  جتا (س+ص) = جتا (س) جتا (ص) – جا (س) جا (ص).
  جتا (س-ص) = جتا (س) جتا (ص) + جا (س) جا (ص).
  ظا (س+ص) = ظا (س) + ظا (س)/ (1-(ظا س ظا ص).
  ظا (س-ص) = ظا (س) – ظا (س)/ (1+(ظا س ظا ص).
• كذلك متطابقات فيثاغورس و تشمل:
  جتا 2 س+ جا 2 س= 1.
  قا 2 س – ظا 2 س= 1.
  قتا 2 س – ظتا 2 س= 1.
• أيضا متطابقات الضرب والجمع
  جاس جا ص= ½ [جتا(س-ص)- جتا (س+ص)].
  جتاس جتا ص= ½ [جتا(س-ص)+ جتا (س+ص)].
  جاس جتا ص= ½ [جا(س+ص)+ جا (س-ص)].
  جتاس جا ص= ½ [جا(س+ص)- جا (س-ص)].

ما أنواع المتطابقات المثلثية

يوجد العديد من أنواع المتطابقات المثلثية الأساسية التي تعبر عن معادلات رياضية تكون صحيحة لجميع القيم، ومن أبرز أنواع هذه المتطابقات في علم حساب المثلثات كل من : متطابقات مقلوب العدد، كذلك متطابقات عكس الزاوية، أيضا متطابقات الزوايا المتتامة وغيرها، في هذا السياق نبين لكم ما أنواع المتطابقات المثلثية :

• متطابقات مَقلوب العدد وتشمل:
  قتا س= 1÷ جا س. قا س= 1÷ جتا س.
  ظتا س =1÷ ظا س.
• كذلك متطابقات الزوايا المتتامة
  جا (90-س)= جتا س.
  جتا (90-س)= جا س.
  ظا (90-س)= ظتا س.
  ظتا (90-س)= ظا س.
  قا (90-س)= قتا س.
  قتا (90-س)= قا س.
• أيضا متطابقات عكس الزاوية
  جا (-س)= – جا س.
  جتا (-س)= جتا س.
  ظا (-س)= – ظا (س).
• كذلك متطابقات الزوايا المتكاملة
  جا س= جا (180-س).
  جتا س= – جتا (180-س).
  ظا س= – ظا (180-س).
• بالإضافة إلى ذلك، متطابقات ضعف الزاوية وتشمل
  جا 2س= 2 جاس جتاس
  – جتا 2 س= جتا² س- جا² س.
  – ظا 2س = 2 ظاس/ (1-ظا² س)
  – ظتا 2 س=(ظتا²س-1)/2 ظتاس.
• أيضا متطابقات نصف الزاوية وتشمل
  جا (س/2)=± ((1-جتا س)/2)√
  جتا (س/2)=± ((1+جتا س)/2)√
  ظا (س/2)=± ((1-جتا س)/(1+جتا س))√= جا س/(1+جتا س)= 1-جتا س/ جا س= قتا س – ظتا س.
  ظتا (س/2)=± ((1+جتا س)/(1-جتا س))√= جا س/(1-جتا س)= 1+جتا س/ جا س= قتا س+ظتا س.

نص نظرية فيثاغورس

تعتبر نظرية فيثاغورس إحدى النظريات الشهيرة في علم الهندسة وكذلك علم حساب المثلثات، ويمكن من خلالها إيجاد قياس أحد أضلاع المثلث قائم الزاوية بمعلومين الضلعين الآخرين، ويكون نص نظرية فيثاغورس على النحو التالي :

• مربع طول الوتر يساوي مربع طول الضلع الأوّل مضافاً إلى مربّع طول الضلع الثاني.
• ويمكن التعبير عنه رياضيًا بالشكل الآتي:
• مربّع طول الوتر = مربّع طول الضلع الأول في المثلث + مربّع طول الضلع الثاني في المثلث.
• أما عكس نظرية فيثاغورس يكون: عندما يكون مجموع مربع طولي ضلعين مساوٍ لمربع الضلع الثالث فيه، فإن المثلث قائم الزاوية.

بحث عن المتطابقات المثلثية، لقد تضمن هذا البحث تعريف كل من المثلث والمتطابقات المثلثية مع توضيح أنواع كل منهما وفق أسس معينة.